SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei

die explizite Homöomorphie zwischen der komplex-projektiven Geraden und der -Sphäre . Durch

erhält man einen Gruppenhomomorphismus der allgemeinen linearen Gruppe in die Gruppe der stetigen Automorphismen (also der Homöomorphismen) der Sphäre. Eine explizite Rechnung für zeigt, dass der zugehörige Homöomorphismus von einer linearen Abbildung der angegebenen Gestalt herrührt.
Zur Surjektivität. Für und mit geht die Matrix links auf

Wenn man und vorgibt und und setzt (das Vorzeichen ist geeignet zu wählen), so wird die Matrix zu

d.h. sie beschreibt die Drehung um den Winkel um die -Achse. Diese Drehung liegt also im Bild der Abbildung. Indem man die Rollen von ändert, sieht man, dass auch die Drehungen um die beiden anderen Koordinatenachsen im Bild der Abbildung liegen. Nach Aufgabe lässt sich jede Isometrie als eine Verknüpfung von Drehungen um die Koordinatenachsen erhalten. Also ist die Abbildung surjektiv.
Zur Bestimmung des Kerns addieren wir jeweils die beiden Einträge der Matrix, die nicht auf der Diagonalen liegen und symmetrisch zur Diagonalen sind. Dies ergibt die Bedingungen . Die Differenzen von je zwei Einträgen der Diagonalen ergibt die Bedingung , woraus insgesamt folgt. Die Bedingung führt dann zu den beiden Elementen im Kern.

Zur bewiesenen Aussage