Sattelpunkt/R^2/x^2-y^2/Direkt/Beispiel

Wir betrachten das Verhalten der Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{2}.$

in ${}P=(0,0)$. Die Einschränkung dieser Funktion auf die durch ${}y=0$ gegebene Gerade (also auf der ${}x$-Achse) ist die Funktion ${}x\mapsto x^{2}$, die in ${}P$ ein (isoliertes) globales Minimum besitzt. Die Einschränkung dieser Funktion auf die durch ${}x=0$ gegebene Gerade (also auf der ${}y$-Achse) ist die Funktion ${}y\mapsto -y^{2}$, die in ${}P$ ein (isoliertes) globales Maximum besitzt. Daher kann ${}f$ in ${}P$ kein Extremum besitzen. Auf den durch ${}y=x$ und ${}y=-x$ gegebenen Geraden ist die Funktion die Nullfunktion.