Sattelpunkt/R^2/x^2-y^2/Direkt/Beispiel

Wir betrachten das Verhalten der Funktion

${ℝ}^2⟶ℝ,(x,y)⟼x^2-y^2.$

in  $P=(0,0)$.  Die Einschränkung dieser Funktion auf die durch  $y=0$  gegebene Gerade (also auf der $x$-Achse) ist die Funktion $x\mapsto x^2$, die in $P$ ein (isoliertes) globales Minimum besitzt. Die Einschränkung dieser Funktion auf die durch  $x=0$  gegebene Gerade (also auf der $y$-Achse) ist die Funktion $y\mapsto -y^2$, die in $P$ ein (isoliertes) globales Maximum besitzt. Daher kann $f$ in $P$ kein Extremum besitzen. Auf den durch  $y=x$  und  $y=-x$  gegebenen Geraden ist die Funktion die Nullfunktion.