Satz über implizite Abbildungen/R/Beweis im linearen surjektiven Fall/Aufgabe/Lösung

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Es ist und sei ein beliebiger Punkt. Bei einer linearen Abbildung stimmt das totale Differential mit der linearen Abbildung überein. Da diese nach Voraussetzung surjektiv ist, sind die Voraussetzungen des Satzes für jeden Punkt erfüllt. Ferner folgt aus der Surjektivität. Es sei der Kern der linearen Abbildung, der nach dem Dimensionssatz die Dimension besitzt. Daher gibt es eine lineare Isomorphie , die eine lineare injektive Abbildung definiert.

Die Faser durch , also das Urbild von , ist die Teilmenge
und ergibt sich daher aus dem Kern durch verschieben um . Insgesamt erhalten wir

wobei vorne eine lineare injektive Abbildung (deren Bild gleich ist) und hinten eine Verschiebung steht. Daher ist die Abbildung stetig differenzierbar und injektiv. Das Bild von ist nach der Vorüberlegung genau , so dass eine Bijektion vorliegt.

Als Verknüpfung einer linearen Einbettung und einer Verschiebung ist in jedem Punkt regulär. Das totale Differential von ist , da das totale Differential einer Verschiebung die Identität ist. Wegen gilt auch der Zusatz.
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