Satz des Thales/Lineare Algebra/Fakt/Beweis

Beweis

Ohne Einschränkung sei  ${}E=\mathbb {R} ^{2}$  und  ${}P=0$,  der Radius sei ${}r$. Wir schreiben „vektoriell“  ${}w=C$,   ${}v=A$,  somit ist  ${}B=-v$.  Der Verbindungsvektor von ${}A$ nach ${}C$ ist dann ${}-v+w$ und der Verbindungsvektor von ${}B$ nach ${}C$ ist dann ${}v+w$. Somit ist

${}{\begin{aligned}\left\langle -v+w,v+w\right\rangle &=\left\langle -v,v\right\rangle +\left\langle -v,w\right\rangle +\left\langle w,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \\&=-\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \\&=-\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \\&=-r^{2}+r^{2}\\&=0,\end{aligned}}$

also sind diese Seiten senkrecht zueinander.

Zur bewiesenen Aussage