Satz von Green/Unter Parabel/(e^x,xy)/Beispiel

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ die Teilmenge, die durch die ${}x$-Achse, die Gleichung ${}x=1$ und den Parabelbogen begrenzt wird, und es sei ${}F(x,y)=(e^{x},xy)$ ein Vektorfeld. Wir wollen die beiden Integrale im Satz von Green unabhängig voneinander berechnen. Den Rand von ${}T$ kann man durch drei Wege ${}\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}$ regulär parametrisieren, wobei

${}\gamma _{1}(t)=(t,0)\,,$

${}\gamma _{2}(t)=(1,t)\,$

und

${}\gamma _{3}(t)=\left(1-t,\,(1-t)^{2}\right)\,,$

(jeweils mit $t\in [0,1]$) ist. Für das Wegintegral gilt somit

${}{\begin{aligned}\int _{\partial T}F&=\int _{\gamma _{1}}F+\int _{\gamma _{2}}F+\int _{\gamma _{3}}F\\&=\int _{0}^{1}F_{1}(t,0)dt+\int _{0}^{1}F_{2}(1,t)dt+\int _{0}^{1}F_{1}(1-t,1-2t+t^{2})(-1)+F_{2}(1-t,1-2t+t^{2})(2t-2)dt\\&=\int _{0}^{1}e^{t}dt+\int _{0}^{1}tdt+\int _{0}^{1}-e^{1-t}+(1-t)(1-2t+t^{2})(2t-2)dt\\&=e-1+{\frac {1}{2}}+{\left(e^{1-t}\right)}{|}_{0}^{1}-2\int _{0}^{1}(1-t)^{4}dt\\&={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{5}}{\left((1-t)^{5}\right)}{|}_{0}^{1}\\&={\frac {1}{2}}-{\frac {2}{5}}\\&={\frac {1}{10}}.\end{aligned}}$

Zur Berechnung des Doppelintegrals ist

${}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}=y\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}\int _{T}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}d\lambda ^{2}&=\int _{T}yd\lambda ^{2}\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{x^{2}}ydydx\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{2}}y^{2}\right)}{|}_{0}^{x^{2}}dx\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}x^{4}dx\\&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {1}{5}}x^{5}\right)}{|}_{0}^{1}\\&={\frac {1}{10}}.\end{aligned}}$