Satz von Schwarz/Dreierumordnung/Aufgabe/Lösung

Unter mehrfacher Anwendung des Satzes von Schwarz ist (die Klammern verdeutlichen, wie der Satz angewendet wird. Für die vierte Gleichung wird verwendet, dass $\frac{\partial }{\partial y}f$ zweimal stetig differenzierbar ist)

$\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial }{\partial x}f& =\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial }{\partial x}f\right)\\ & =\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}f\right)\\ & =\left(\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial }{\partial x}\right)\left(\frac{\partial }{\partial y}f\right)\\ & =\left(\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial z}\right)\left(\frac{\partial }{\partial y}f\right)\\ & =\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial }{\partial y}f\right)\\ & =\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial }{\partial z}f\right)\\ & =\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial }{\partial z}f.\end{array}$

Zur gelösten Aufgabe