Satz von Schwarz/R/Partielle Version/Fakt

Satz von Schwarz

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei ${}f\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ eine Abbildung, so dass für ${}1\leq i,j\leq n$ die zweiten partiellen Ableitungen ${}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}f$ und ${}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f$ existieren und stetig sind.

Dann gilt

${}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}f={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen