Satz von Schwarz/x^4-x^3y+5xy^2+2y^3/Motivation/Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{4}-x^{3}y+5xy^{2}+2y^{3}.$

Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=4x^{3}-3x^{2}y+5y^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=-x^{3}+10xy+6y^{2}.$

Diese Funktionen sind selbst wiederum partiell differenzierbar, und wir berechnen

${}{\frac {\partial }{\partial y}}{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)}={\frac {\partial }{\partial y}}{\left(4x^{3}-3x^{2}y+5y^{2}\right)}=-3x^{2}+10y\,$

und

${}{\frac {\partial }{\partial x}}{\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}={\frac {\partial }{\partial x}}{\left(-x^{3}+10xy+6y^{2}\right)}=-3x^{2}+10y\,.$

Die beiden zweiten partiellen Ableitungen ${}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}f$ und ${}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}f$ stimmen also überein.