Satz von Stokes/Divergenzsatz/Beispiel

Ein Spezielfall des Satzes von Stokes ist der sogenannte Divergenzsatz oder Satz von Gauß. Er besagt für eine kompakte dreidimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand ${}M\subset U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ (${}U$ eine offene Teilmenge) und eine ${}2$-Differentialform ${}\omega$ auf ${}U$ die Gleichheit

${}\int _{\partial M}\omega =\int _{M}d\omega \,.$

Dieser Satz bezieht sich auf die physikalische Situation einer Strömung. Die Form ${}\omega$ beschreibt für einen Punkt ${}P\in U$ und ein infinitesimales Parallelogramm an diesem Punkt, wie viel Flüssigkeit pro Zeiteinheit durch dieses Stück durchfließt. Bei der äquivalenten Beschreibung dieser Situation mit einem Vektorfeld beschreibt ${}F(P)$ die Flussrichtung zusammen mit ihrer Stärke. Die Ableitung ${}d\omega$ ist eine Volumenform, die sogenannte Divergenz. Sie beschreibt für einen Punkt den infinitesimalen Zuwachs an Flussmaterial (Quelle oder Senke) an diesem Punkt. Dabei ist die Bedingung ${}d\omega =0$ häufig erfüllt und bedeutet, dass es für die Flüssigkeit in ${}U$ keinen Materialgewinn gibt. Der Satz von Gauß besagt dann, dass die Gesamtdurchströmung durch den Rand (wobei die Orientierung festlegt, welche Strömung als nach draußen oder als nach innen zu betrachten ist) gleich ${}0$ ist. Was also irgendwo in ${}M$ hineinfließt, fließt irgendwo sonst wieder heraus.