Schema/Geradenbündel mit endlicher Ordnung/Überlagerung/Beispiel

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Sei ein Schema und eine invertierbare Garbe auf , die in der Picardgruppe endliche Ordnung besitze, wobei in invertierbar sei. Mit einem fixierten Isomorphismus kann man auf der direkten Summe

eine -Algebra-Struktur definieren. Das zugehörige (relative) Spektrum definiert einen endlichen Schemamorphismus

Dieser ist flach, da die Algebra lokal frei ist. Die Unverzweigtheit weist man auch lokal nach, wobei man zu offenen affinen Mengen übergeht, über denen trivial ist. Auf einer solchen Menge wird die Algebra durch mit einer Einheit gegeben. Die relativen Differentiale werden von erzeugt und dafür gilt

Da sowohl als auch (als Teiler von ) Einheiten sind, ist . Wenn man die invertierbare Garbe nach zurückzieht, so ergibt sich wegen

die Strukturgarbe. Die konstruierte étale Abbildung trivialisiert also diese Torsionsgarbe.