Schema/Geradenbündel mit endlicher Ordnung/Überlagerung/Beispiel

Es sei ${}X$ ein Schema und ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$, die in der Picardgruppe ${}\operatorname {Pic} _{}^{}{\left(X\right)}$ endliche Ordnung ${}n$ besitze, wobei ${}n$ in ${}X$ invertierbar sei. Mit einem fixierten Isomorphismus ${}{\mathcal {L}}^{n}\cong {\mathcal {O}}_{X}$ kann man auf der direkten Summe

${\mathcal {O}}_{X}\oplus {\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}^{2}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {L}}^{n-1}$

eine ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Algebra-Struktur ${}{\mathcal {A}}$ definieren. Das zugehörige (relative) Spektrum definiert einen endlichen Schemamorphismus

$Y={\rm {Spec}}{\mathcal {A}}\longrightarrow X.$

Dieser ist flach, da die Algebra lokal frei ist. Die Unverzweigtheit weist man auch lokal nach, wobei man zu offenen affinen Mengen ${}U\subseteq X$ übergeht, über denen ${}{\mathcal {L}}$ trivial ist. Auf einer solchen Menge ${}U={\rm {Spec}}R$ wird die Algebra durch ${}B=R[T](T^{n}-r)$ mit einer Einheit ${}r\in R^{\times }$ gegeben. Die relativen Differentiale werden von ${}dT$ erzeugt und dafür gilt

${}0=d(T^{n}-r)=nT^{n-1}dT\,.$

Da sowohl ${}n$ als auch ${}T$ (als Teiler von ${}r$) Einheiten sind, ist ${}dT=0$. Wenn man die invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ nach ${}Y$ zurückzieht, so ergibt sich wegen

$({\mathcal {O}}_{X}\oplus {\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}^{2}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {L}}^{n-1})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}\cong {\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}^{2}\oplus {\mathcal {L}}^{3}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {L}}^{n}\cong {\mathcal {A}}\,$

die Strukturgarbe. Die konstruierte étale Abbildung trivialisiert also diese Torsionsgarbe.