Schema/Integer/Einheitengarbe/Funktionenkörpergruppe/Erste Kohomologie/Fakt

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein integres Schema mit dem Funktionenkörper ${}K$. Es sei ${}{\mathcal {O}}_{X}^{\times }$ die Garbe der Einheiten auf ${}X$ und es sei ${}{\mathcal {U}}$ die konstante Garbe zu ${}K^{\times }$.

Dann ist

${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\Gamma {\left(X,{\mathcal {U}}/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}/\operatorname {bild} {\left(K^{\times }\rightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {U}}/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}\right)}\,.$

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