Garbe/Über Prägarbe/Definition

Garbe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Unter einer Garbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ versteht man eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$, die die folgenden Eigenschaften erfüllt.

1. Zu jeder offenen Überdeckung ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Elementen ${}s,t\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ mit ${}\rho _{U,U_{i}}(s)=\rho _{U,U_{i}}(t)$ für alle ${}i\in I$ gilt ${}s=t$.
2. Zu jeder offenen Überdeckung ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Elementen ${}s_{i}\in {\mathcal {F}}{\left(U_{i}\right)}$ mit ${}\rho _{U_{i},U_{i}\cap U_{j}}{\left(s_{i}\right)}=\rho _{U_{j},U_{i}\cap U_{j}}{\left(s_{j}\right)}$ für alle ${}i,j\in I$ gibt es ein ${}s\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ mit ${}s_{i}=\rho _{U,U_{i}}(s)$ für alle ${}i\in I$.