Schemamorphismus/Picardgruppe/Funktoriell/Cech-Beschreibung/Aufgabe

Es sei $\phi :X\to Y$ ein Schemamorphismus. Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

$\mathrm{Pic}\left(Y\right)⟶\mathrm{Pic}\left(X\right),ℒ⟼{\phi }^{\ast }ℒ,$

mithilfe der Kozykelbeschreibung aus Bemerkung folgendermaßen beschrieben werden kann: Dem Kozykel $r_{ij}\in {\left(\Gamma (V_i\cap V_j,{𝒪}_Y)\right)}^{\times }$, $i<j$, zu einer offenen Überdeckung  $Y=\bigcup _{i\in I}{V}_i$  wird der Kozykel ${\theta }_{ij}(r_{ij})\in {\left(\Gamma ({\phi }^{-1}(V_i)\cap {\phi }^{-1}(V_j),{𝒪}_X)\right)}^{\times }$, $i<j$, bezüglich der Überdeckung  $X=\bigcup _{i\in I}{\phi }^{-1}(V_i)$  zugeordnet, wobei die

${\theta }_{ij}:\Gamma (V_i\cap V_j,{𝒪}_Y)⟶\Gamma ({\phi }^{-1}(V_i\cap V_j),{𝒪}_X)$

die zugehörigen Ringhomomorphismen bezeichnen.

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