Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Injektivität der Multiplikation mit Z im homogenen Restklassenring/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei und vorausgesetzt, das unter der angegebenen Abbildung auf geht. Das bedeutet, dass eine Gleichung

mit vorliegt. Wir ersetzen in dieser Gleichung die Variable durch und erhalten die Gleichung

in . Nach der Voraussetzung, dass es keine gemeinsame projektive Nullstelle auf gibt, besitzen und in nur den Nullpunkt als gemeinsame Nullstelle. Daher sind diese Polynome in teilerfremd. Das bedeutet, dass es ein Polynom mit

gibt. Dies wiederum heißt zurückübersetzt nach , dass dort

gilt. Mit und ergibt sich aus der Ausgangsgleichung

Aus dieser Gleichung können wir herauskürzen und erhalten eine Darstellung für als Linearkombination aus und . Damit ist die Restklasse von in ebenfalls .

Zur bewiesenen Aussage