Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Injektivität der Multiplikation mit Z im homogenen Restklassenring/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}H\in K[X,Y,Z]$ und vorausgesetzt, das ${}H$ unter der angegebenen Abbildung auf ${}0$ geht. Das bedeutet, dass eine Gleichung

${}ZH=LF+MG\,$

mit ${}L,M\in K[X,Y,Z]$ vorliegt. Wir ersetzen in dieser Gleichung die Variable ${}Z$ durch ${}0$ und erhalten die Gleichung

${}0=L(X,Y,0)F(X,Y,0)+M(X,Y,0)G(X,Y,0)\,$

in ${}K[X,Y]$. Nach der Voraussetzung, dass es keine gemeinsame projektive Nullstelle auf ${}V_{+}(Z)$ gibt, besitzen ${}F(X,Y,0)$ und ${}G(X,Y,0)$ in ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$ nur den Nullpunkt ${}(0,0)$ als gemeinsame Nullstelle. Daher sind diese Polynome in ${}K[X,Y]$ teilerfremd. Das bedeutet, dass es ein Polynom ${}Q\in K[X,Y]$ mit

$L(X,Y,0)=QG(X,Y,0){\text{ und }}M(X,Y,0)=-QF(X,Y,0)$

gibt. Dies wiederum heißt zurückübersetzt nach ${}K[X,Y,Z]$, dass dort

$L=QG(X,Y,0)+Z{\bar {L}}{\text{ und }}M=-QF(X,Y,0)+Z{\bar {M}}$

gilt. Mit $F=F(X,Y,0)+Z{\bar {F}}$ und $G=G(X,Y,0)+Z{\bar {G}}$ ergibt sich aus der Ausgangsgleichung

${}{\begin{aligned}ZH&=LF+MG\\&={\left(QG(X,Y,0)+Z{\bar {L}}\right)}F+{\left(-QF(X,Y,0)+Z{\bar {M}}\right)}G\\&=Q{\left(G-Z{\bar {G}}\right)}F-Q{\left(F-Z{\bar {F}}\right)}G+Z{\bar {L}}F+Z{\bar {M}}G\\&=-QZ{\bar {G}}F+QZ{\bar {F}}G+Z{\bar {L}}F+Z{\bar {M}}G\\&=Z{\left(-Q{\bar {G}}F+Q{\bar {F}}G+{\bar {L}}F+{\bar {M}}G\right)}.\end{aligned}}$

Aus dieser Gleichung können wir ${}Z$ herauskürzen und erhalten eine Darstellung für ${}H$ als Linearkombination aus ${}F$ und ${}G$. Damit ist die Restklasse von ${}H$ in ${}R$ ebenfalls ${}0$.

Zur bewiesenen Aussage