Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Injektivität der Multiplikation mit Z im homogenen Restklassenring/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien  ${}F,G\in K[X,Y,Z]$  homogene Polynome ohne gemeinsame (projektive) Nullstelle auf  ${}V_{+}(Z)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$.  Es sei  ${}R=K[X,Y,Z]/(F,G)$  der zugehörige Restklassenring.

Dann ist die Abbildung

$R\longrightarrow R,\,H\longmapsto ZH,$

injektiv.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen