Schriftliche Division/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis
  1. Ist eine Eigenschaft der Division mit Rest.
  2. Wegen

    ist

    Bei der Division von durch ist somit der ganzzahlige Anteil echt kleiner als .

  3. Dies folgt unmittelbar aus dem rekursiven Aufbau des Divisionsalgorithmus.
  4. Im Fall, dass für ein der Rest ist, ergibt sich dies unmittelbar aus (3), wobei man wählen kann. Nehmen wir also an, dass alle von verschieden sind. Da die Reste

    allesamt zwischen und liegen, muss es in ihnen irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir, dass

    gilt. Da und allein von abhängt, wiederholt sich dann die Restfolge und die Ziffernfolge

    unendlich oft periodisch.

  5. Aus der Division mit Rest

    ergibt sich direkt die entsprechende Division mit Rest

    woraus die Behauptung folgt.

  6. Der Divisionsalgorithmus ist in diesem Fall

    u.s.w., woraus die Aussagen ablesbar sind.

  7. Wenn ein Dezimalbruch vorliegt, so können wir wegen (5) annehmen, dass

    eine Zehnerpotenz ist. Dann folgt die Aussage mit der abbrechenden Ziffernfolge aus (6).


    Wenn ein , so sind nach (3) alle folgenden Ziffern gleich . Wenn umgekehrt für alle gilt, so wird die Rekursionsbedingung für zu

    Nehmen wir an. Dann ist

    u.s.w., was zu einem Widerspruch führt, da nach Fakt die Zehnerpotenzen schließlich die Zahl überschreiten.

    Wenn ein ist, so folgt rekursiv aus

    bzw.

    dass die Brüche

    Dezimalbrüche sind. Somit ist auch ein Dezimalbruch.

Zur bewiesenen Aussage