Separable Körpererweiterung/Zwischenkörper/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  $x\in L$  mit dem Minimalpolynom  $F\in K[X]$,  das nach Voraussetzung separabel ist. Es sei  $G\in M[X]$  das Minimalpolynom zu $x$, aufgefasst in der Körpererweiterung  $M\subseteq L$.  Wegen  $F(x)=0$  gilt in $M[X]$ die Beziehung ist  $F\in (G)$,  d.h. es gibt ein  $H\in M[X]$  mit

$F=GH.$

Da $F$ in jedem Erweiterungskörper von $K$ nur einfache Nullstellen besitzt, gilt dies auch für den Teiler $G$ und damit ist auch $G$ separabel.

Zur bewiesenen Aussage