Sesquilinearform/Hermitesch/Typ/Trägheitssatz/Fakt/Beweis

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Beweis

Bezüglich einer Orthogonalbasis von (die es nach Fakt gibt) hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt, wobei die Diagonaleinträge reell sind. Es sei die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten Diagonaleinträge positiv, die folgenden Diagonaleinträge negativ und die übrigen seien. Auf dem -dimensionalen Unterraum ist die eingeschränkte Sesquilinearform positiv definit, so dass gilt. Sei , auf diesem Unterraum ist die Sesquilinearform negativ semidefinit. Dabei ist , und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.

 Angenommen, es gebe einen Unterraum , auf dem die Sesquilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension größer als ist. Die Dimension von ist und daher ist nach Fakt.

Für einen Vektor , , ergibt sich aber direkt der Widerspruch und .

Zur bewiesenen Aussage