Siebter Kreisteilungsring/Primitive Einheitswurzel + Inverses/Minimalpolynom/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}Y=X+X^{-1}\,,$

${}Y^{2}={\left(X+X^{-1}\right)}^{2}=X^{2}+2+X^{-2}\,,$

${}Y^{3}={\left(X+X^{-1}\right)}^{3}=X^{3}+3X+3X^{-1}+X^{-3}\,.$

Somit ist

${}Y^{3}+Y^{2}-2Y-1=X^{3}+X^{2}+X+1+X^{-1}+X^{-2}+X^{-3}=0\,.$

Wegen

${}X^{2}-XY+1=0\,$

hat ${}R_{7}$ den Grad ${}2$ über ${}\mathbb {Z} [Y]$ und somit hat ${}\mathbb {Z} [Y]$ den Grad ${}3$, daher ist ${}Y^{3}+Y^{2}-2Y-1$ das Minimalpolynom. Wegen

${}Y{\left(Y^{2}+Y-2\right)}=1\,$

ist ${}Y$ eine Einheit.

Zur gelösten Aufgabe