Sigmaendliche Räume/Nichtnegative Funktion/Fubini/Fakt

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$-endliche Maßräume und sei

$f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine nichtnegative messbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für jedes ${}x\in M$ ist die Funktion

   $N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,y\longmapsto f(x,y),$

   und für jedes ${}y\in N$ ist die Funktion

   $M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,x\longmapsto f(x,y),$

   messbar.

2. Die Funktion

   $N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,y\longmapsto \int _{M}f(x,y)\,d\mu (x),$

   und die Funktion

   $M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,x\longmapsto \int _{N}f(x,y)\,d\nu (y),$

   sind messbar.

3. Es gilt

   ${}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M}{\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)=\int _{N}{\left(\int _{M}f(x,y)\,d\mu (x)\right)}\,d\nu (y)\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen