Sigmaendliche Räume/Nichtnegative Funktion/Fubini/Fakt/Beweis

Beweis

(1) folgt direkt aus der Messbarkeit der Inklusionen

$M\longrightarrow M\times N,\,x\longmapsto (x,y),$

für jedes  ${}y\in N$. 
(2) folgt aus Fakt angewendet auf

${}S(f)\subseteq M\times (N\times {\overline {\mathbb {R} }})\,,$

da ${}(S(f))(x)$ der Subgraph von ${}f(x,-)$ und  ${}\int _{N}f(x,-)d\nu =\nu \otimes \lambda ^{1}(S(f)(x))$  ist.
(3). Nach Fakt, angewendet auf das Produkt ${}M\times (N\times {\overline {\mathbb {R} }})$, ist

${}{\begin{aligned}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )&={\left(\mu \otimes \nu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\\&=\int _{M}{\left(\nu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left((S(f))(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu \right)\,d\mu .\end{aligned}}$

Da man die Rollen von ${}M$ und ${}N$ vertauschen kann, ergibt sich auch die andere Darstellung.

Zur bewiesenen Aussage