Signum/Übertragung von geordneter Menge auf beliebige/Bemerkung

Es sei ${}I$ eine beliebige Menge mit ${}n$ Elementen, die nicht geordnet sein muss, und sei ${}\pi$ eine Permutation auf ${}I$. Dann kann man nicht von Fehlständen sprechen und die Definition des Signums ist nicht direkt anwendbar. Man kann sich jedoch an Fakt orientieren, um das Signum auch in dieser leicht allgemeineren Situation zu erklären. Dazu schreibt man ${}\pi$ als Produkt von ${}r$ Transpositionen und definiert

${}\operatorname {sgn} (\pi )={\begin{cases}1\,,{\text{ falls }}r{\text{ gerade ist}}\,,\\-1\,,{\text{ falls }}r{\text{ ungerade ist}}\,.\end{cases}}\,$

Um einzusehen, dass dies wohldefiniert ist, betrachtet man eine Bijektion

$\varphi \colon I\longrightarrow {\{1,\ldots ,n\}}.$

Die Permutation ${}\pi$ auf ${}I$ definiert auf ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ die Permutation ${}\pi '=\varphi \pi \varphi ^{-1}$. Sei ${}\pi =\tau _{1}\cdots \tau _{r}$ eine Darstellung als Produkt von ${}r$ Transpositionen auf ${}I$. Dann gilt

${}\pi '=\varphi \pi \varphi ^{-1}=\varphi \tau _{1}\cdots \tau _{r}\varphi ^{-1}=\varphi \tau _{1}\varphi ^{-1}\varphi \tau _{2}\varphi ^{-1}\varphi \cdots \varphi ^{-1}\varphi \tau _{r}\varphi ^{-1}=\tau _{1}'\tau _{2}'\cdots \tau _{r}'\,$

mit ${}\tau _{j}'=\varphi \tau _{j}\varphi ^{-1}$. Dies sind ebenfalls Transpositionen, sodass die Parität von ${}r$ durch das Signum von ${}\pi '$ festgelegt ist.