Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/K/Korrespondenz/Fakt

Es sei ${}V$ eine endliche Menge, ${}K$ ein Körper und ${}K^{V}$ der zugehörige Tupelraum und

${}H={\left\{(x_{v})\in K^{V}\mid \sum _{v\in V}x_{v}=1\right\}}\,.$

Dann entsprechen sich die folgenden Objekte (für (3) sei die Charakteristik des Körpers gleich ${}0$).

1. Simpliziale Komplexe auf ${}V$.
2. Achsenraumkonfigurationen in ${}K^{V}$, also Vereinigungen der Form ${}\bigcup _{F}K^{F}$ über gewisse Teilmengen ${}F$ von ${}V$.
3. Teilmengen von ${}H$, die mit einem Punkt ${}{\left(x_{v}\right)}$ auch jeden Punkt ${}{\left(y_{v}\right)}$ enthalten, dessen Träger im Träger von ${}{\left(x_{v}\right)}$ liegt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen