Simplizialer Komplex/K/Transpositionsbündel/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten über (bzw. auf dem punktierten Spektrum davon) $R = K [X, Y, Z] / (X Y Z)$ die durch die Erzeuger $e_{1}, e_{2}, f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}$ und die Relationen

y \cdot e_{1} = x \cdot f_{1},

y \cdot e_{2} = x \cdot f_{2},

z \cdot f_{1} = y \cdot g_{1},

z \cdot f_{2} = y \cdot g_{2},

z \cdot e_{1} = x \cdot g_{2}

und

z \cdot e_{2} = x \cdot g_{1}

gegebene $R$ -Algebra $B$ . Man beachte, dass im letzten Gleichungspaar die Indexreihenfolge vorne und hinten vertauscht ist. Es sei

U = D (x, y, z) \subseteq Spek (R) .

Wir behaupten, dass die Einschränkung von $Spek (B)$ ein Vektorbündel vom Rang zwei über $U$ ist. Auf $D (x)$ kann man mit dem ersten und dem dritten Gleichungspaar nach $f_{1}, f_{2}, g_{2}, g_{1}$ auflösen und es verbleiben die Erzeuger $e_{1}, e_{2}$ . Bei diesen Substitutionen wird aus der ersten Gleichung des mittleren Gleichungspaars

z f_{1} = z \frac{y e_{1}}{x} = y \frac{z e_{2}}{x} = y g_{1} .

Dabei ist die mittlere Gleichung aber automatisch erfüllt, da ja $x y z = 0$ ist. Entsprechendes gilt für die zweite Gleichung. Somit ist nach der Nenneraufnahme an $x$ das mittlere Gleichungspaar überflüssig und es ist

B_{x} = R_{x} [e_{1}, e_{2}] .

Ebeneso sind $B_{y}$ und $B_{z}$ Polynomalgebren in zwei Variablen über der Basis.

Wenn man auf $D (x)$ als Erzeuger $\frac{e_{1}}{x}, \frac{e_{2}}{x}$ , auf $D (y)$ als Erzeuger $\frac{f_{1}}{y}, \frac{f_{2}}{y}$ und auf $D (z)$ als Erzeuger $\frac{g_{1}}{z}, \frac{g_{2}}{z}$ nimmt, so gilt auf den Zweierdurchschnitten

\frac{g_{1}}{z} = \frac{f_{1}}{y} = \frac{e_{1}}{x} = \frac{g_{2}}{z},

wobei die „paradoxe“ Gleichung $\frac{g_{1}}{z} = \frac{g_{2}}{z}$ nur auf der leeren Menge $D (x y z)$ gilt, also gegenstandslos ist. Die Übergangsmatrizen bezüglich dieser Erzeuger sind zweimal die Einheitsmatrix und einmal die Transpositionsmatrix.