Sinus/Kosinus/Wichtige Werte/Aufgabe/Lösung

a) Es ist ${}\sin \left(z+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos z$ nach Fakt (3). Daher ist

{}\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)=\sin \left(-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(-{\frac {\pi }{4}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\,,

da Kosinus eine gerade Funktion ist. Aus

{}1=\sin ^{2}{\left({\frac {\pi }{4}}\right)}+\cos ^{2}{\left({\frac {\pi }{4}}\right)}=2\sin ^{2}{\left({\frac {\pi }{4}}\right)}\,

ergibt sich

{}\sin ^{2}{\left({\frac {\pi }{4}}\right)}={\frac {1}{2}}\,.

Da ${}\sin {\frac {\pi }{4}}>0$ ist, ist

{}\sin {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.

b) Nach den Additionstheoremen für Sinus und Kosinus ist

{}{\begin{aligned}\sin \left(3\alpha \right)&=\cos \alpha \sin \left(2\alpha \right)+\cos \left(2\alpha \right)\sin \alpha \\&=\cos \alpha {\left(2\cos \alpha \sin \alpha \right)}+{\left(\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha \right)}\sin \alpha \\&=\sin \alpha {\left(3\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha \right)}\\&=\sin \alpha {\left(4\cos ^{2}\alpha -1\right)}.\end{aligned}}

Für ${}\alpha ={\frac {\pi }{3}}$ ist also

{}0=\sin \pi =\sin {\frac {\pi }{3}}{\left(4\cos ^{2}{\frac {\pi }{3}}-1\right)}\,.

Wegen

{}\sin {\frac {\pi }{3}}\neq 0\,

ist somit

{}0=4\cos ^{2}{\frac {\pi }{3}}-1\,,

woraus sich

{}\cos ^{2}{\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{4}}\,

ergibt. Da ${}\cos {\frac {\pi }{3}}$ positiv ist, folgt

{}\cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}\,.

c) Aus

{}1=\cos ^{2}{\frac {\pi }{3}}+\sin ^{2}{\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{4}}+\sin ^{2}{\frac {\pi }{3}}\,

folgt

{}\sin ^{2}{\frac {\pi }{3}}={\frac {3}{4}}\,,

woraus sich wegen der Positivität von ${}\sin {\frac {\pi }{3}}$ schließlich

{}\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,

ergibt.