Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in ${}\mathbb {R}$ folgende Periodizitätseigenschaften.

1. Es ist  ${}\cos \left(x+2\pi \right)=\cos x$  und  ${}\sin \left(x+2\pi \right)=\sin x$  für alle  ${}x\in \mathbb {R}$. 
2. Es ist  ${}\cos \left(x+\pi \right)=-\cos x$  und  ${}\sin \left(x+\pi \right)=-\sin x$  für alle  ${}x\in \mathbb {R}$. 
3. Es ist  ${}\cos \left(x+\pi /2\right)=-\sin x$  und  ${}\sin \left(x+\pi /2\right)=\cos x$  für alle  ${}x\in \mathbb {R}$. 
4. Es ist  ${}\cos 0=1$,   ${}\cos \pi /2=0$,   ${}\cos \pi =-1$,   ${}\cos 3\pi /2=0$  und  ${}\cos 2\pi =1$. 
5. Es ist  ${}\sin 0=0$,   ${}\sin \pi /2=1$,   ${}\sin \pi =0$,   ${}\sin 3\pi /2=-1$  und  ${}\sin 2\pi =0$. 

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen