Sinus/Parabel/Schnittpunkte/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten

$f(x):=g(x)-h(x)=x^2+ax+b-\sin x.$

Die Schnittpunkte der Graphen von $g$ und $h$ sind die Nullstellen von $f$. Wir zeigen also, dass $f$ maximal zwei Nullstellen besitzt. Es ist

$f^{\prime }(x)=2x+a-\cos x$

und

$f^{\prime \prime }(x)=2+\sin x.$

Da der Sinus Werte zwischen $-1$ und $1$ besitzt, ist

$f^{\prime \prime }(x)\ge 1$

und überall positiv. Daher ist $f^{\prime }$ streng wachsend. Insbesondere besitzt $f^{\prime }$ höchstens eine Nullstelle $c$ (da die Ableitung davon größergleich $1$ ist, gibt es genau eine Nullstelle)

und somit ist $f^{\prime }$ auf einem linksseitig offenen Intervall negativ und rechtsseitig davon positiv. Dies bedeutet für $f$ selbst, dass $f$ unterhalb von $c$ streng fallend und oberhalb von $c$ streng wachsend ist. In beiden Bereichen kann es nur eine Nullstelle geben.

Zur gelösten Aufgabe