Sinusbogen/Kreisbogen/Vergleich/Fläche/Aufgabe/Lösung
Erscheinungsbild
- Es handelt sich um den oberen Halbkreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius . Für die Punkte auf dem Kreisbogen gilt
somit ist der obere Halbbogen der Graph der Funktion
- Es ist
auf zu zeigen, wobei die Situation symmetrisch zur Achse durch ist. Da beide Funktionen nichtnegativ sind, genügt es, die quadrierte Abschätzung nachzuweisen, also
Beide Funktionen sind auf streng wachsend und haben im Nullpunkt den Wert . Für ist
Für vergleichen wir die Ableitungen der quadrierten FUnktionen. Es ist
und
Im angegebenen Bereich ist
die Funktion wächst also schneller als und somit gilt auch in diesem Abschnitt die Abschätzung.
- Der Flächeninhalt unter dem Kreisbogen ist der halbe Flächeninhalt eines Kreises mit Radius , also gleich
Der Flächeninhalt unter dem Sinusbogen ist
Der eingeschlossene Flächeninhalt ist somit gleich