Sinusbogen/Kreisbogen/Vergleich/Fläche/Aufgabe/Lösung

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  1. Es handelt sich um den oberen Halbkreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius . Für die Punkte auf dem Kreisbogen gilt

    somit ist der obere Halbbogen der Graph der Funktion

  2. Es ist

    auf zu zeigen, wobei die Situation symmetrisch zur Achse durch ist. Da beide Funktionen nichtnegativ sind, genügt es, die quadrierte Abschätzung nachzuweisen, also

    Beide Funktionen sind auf streng wachsend und haben im Nullpunkt den Wert . Für ist

    Für vergleichen wir die Ableitungen der quadrierten FUnktionen. Es ist

    und

    Im angegebenen Bereich ist

    die Funktion wächst also schneller als und somit gilt auch in diesem Abschnitt die Abschätzung.

  3. Der Flächeninhalt unter dem Kreisbogen ist der halbe Flächeninhalt eines Kreises mit Radius , also gleich

    Der Flächeninhalt unter dem Sinusbogen ist

    Der eingeschlossene Flächeninhalt ist somit gleich