Sinusbogen/Schwerpunkt/Satz von Green/Beispiel

Es sei ${}T$ der Subgraph der Sinusfunktion zwischen ${}0$ und ${}\pi$. Wir wollen den geometrischen Schwerpunkt von ${}T$ mit Hilfe von Fakt berechnen. Der Flächeninhalt von ${}T$ ist bekanntlich

${}m=\int _{0}^{\pi }\sin t=-\cos t{|}_{0}^{\pi }=2\,.$

Der Rand von ${}T$ wird durch die beiden Wege ${}\gamma _{1}(t)=(t,0)$ und ${}\gamma _{2}(t)=(\pi -t,\sin \left(\pi -t\right))$ (jeweils für $t\in [0,\pi ]$) parametrisiert. Daher ist die ${}x$-Koordinate des Schwerpunkts mit Hilfe des Vektorfeldes ${}F(x,y)=(xy,0)$ gleich

${}{\begin{aligned}x_{S}&=-{\frac {1}{2}}\int _{\partial T}F\\&=-{\frac {1}{2}}\int _{\gamma _{2}}F\\&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(\pi -t)\sin \left(\pi -t\right)(-1)dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }u\sin udu\\&={\frac {1}{2}}{\left(-u\cos u+\sin u\right)}{|}_{0}^{\pi }\\&={\frac {1}{2}}\pi ,\end{aligned}}$

was auch aus Symmetriegründen klar ist. Die ${}y$-Koordinate des Schwerpunktes berechnet sich mit Hilfe des Vektorfeldes ${}G(x,y)=(y^{2},0)$ zu

${}{\begin{aligned}y_{S}&=-{\frac {1}{4}}\int _{\partial T}G\\&=-{\frac {1}{4}}\int _{\gamma _{2}}G\\&={\frac {1}{4}}\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}(\pi -t)dt\\&={\frac {1}{4}}\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}udu\\&={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}\pi \\&={\frac {1}{8}}\pi .\end{aligned}}$