Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Versionen für Schwerpunkt/Fakt

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine regulär berandete, ebene Teilmenge mit dem Rand ${}R=\partial T$ und dem Flächeninhalt ${}m>0$.

Dann kann man den Schwerpunkt ${}S$ von ${}T$ durch Integration eines geeigneten Vektorfeldes bestimmen, und zwar ist

${}x_{S}=-{\frac {1}{m}}\int _{R}(xy,0)={\frac {1}{2m}}\int _{R}(0,x^{2})\,$

und

${}y_{S}={\frac {1}{m}}\int _{R}(0,xy)=-{\frac {1}{2m}}\int _{R}(y^{2},0)\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen