Skalarprodukt/Gradient/Einschränkung/Orthogonale Projektion/Aufgabe/Kommentar

Der nach dem Lemma eindeutig bestimmte Vektor ${}v$ hat die Eigenschaft, dass ${}f(w)=\langle v,w\rangle$ für alle ${}w\in V$ gilt und die Linearform damit vollständig festlegt wird. Für die Einschränkung auf ${}U$ gilt entsprechend

$f\vert _{U}\colon U\to \mathbb {R} ,\quad f\vert _{U}(w){=}\langle v,w\rangle .$

Nun ist ${}f\vert _{U}$ eine Linearform zum Vektorraum ${}U$, sodass nach dem Lemma ein Vektor ${}u\in U$ existieren muss, für den ${}f\vert _{U}(w)=\langle u,w\rangle _{U}$ für alle ${}w\in U$ gilt. Für ${}v$ selbst gilt dies nicht, da dieser Vektor nicht in ${}U$ enthalten sein muss. Hier schreiben wir ${}\langle {-},{-}\rangle _{U}$ für das induzierte Skalarprodukt auf ${}U$, um es vom Skalarprodukt auf ${}V$ zu unterscheiden. Es ist nur für Elemente aus ${}U$ definiert.

Da der Vektor ${}u$ eindeutig bestimmt ist, reicht es zu zeigen, dass die orthogonale Projektion ${}p$ von ${}v$ die gewünschte Eigenschaft besitzt. Im Weiteren nehmen wir also an, dass ${}u=p(v)$.

Nun können wir einen Vektor ${}v'$ definieren mit der Eigenschaft ${}v=u+v'$. Anschauchlich bedeutet dies, dass wir ${}v$ in zwei Teile zerlegen: die Projektion auf ${}U$ und den orthogonal dazu stehenden Anteil. Es empfiehlt sich diese Situation zu skizzieren. Tatsächlich gilt nun

$u=p(v){=}p(u+v'){=}p(u)+p(v'){=}u+p(v')$

unter Ausnutzung der Linearität von ${}p$ und der Eigenschaft, dass ${}p(u)=u$. Somit ist ${}p(v')=0$ und ${}v'$ im Kern von ${}p$. Per Definition der orthogonalen Projektion steht somit ${}v'$ orthogonal zu jedem Vektor ${}w\in U$, also ${}\langle v',w\rangle =0$. Schließlich folgt

$f\vert _{U}(w){=}\langle v,w\rangle {=}\langle u+v',w\rangle {=}\langle u,w\rangle +\langle v',w\rangle {=}\langle u,w\rangle _{U},$

wobei die Bilinearität des Skalarprodukts eingeht.

Zur kommentierten Aufgabe