Beweis
Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des
Skalarprodukts.
Die Multiplikativität folgt aus
-
![{\displaystyle {}\Vert {\lambda v}\Vert ^{2}=\left\langle \lambda v,\lambda v\right\rangle =\lambda \left\langle v,\lambda v\right\rangle =\lambda ^{2}\left\langle v,v\right\rangle =\lambda ^{2}\Vert {v}\Vert ^{2}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc6409cf57d73beb18cd1fb6a0dd5a2ad4bd9b5)
Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir
-
![{\displaystyle {}\Vert {v+w}\Vert ^{2}=\left\langle v+w,v+w\right\rangle =\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\left\langle v,w\right\rangle \leq \Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a110fc0b8eee9e96927cba04dee74123b214e91c)
Aufgrund von
Fakt
ist dies
. Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.