Reeller Vektorraum/Skalarprodukt/Definition

Skalarprodukt

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ${}V$ ist eine Abbildung

$V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

mit folgenden Eigenschaften:

1. Es ist

   ${}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$

   für alle  ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$,   ${}x_{1},x_{2}\in V$  und ebenso in der zweiten Komponente.

2. Es ist

   ${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$

   für alle  ${}v,w\in V$. 

3. Es ist  ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$  für alle  ${}v\in V$  und  ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$  genau dann, wenn  ${}v=0$  ist.