Spaltenstochastisch/Isometrisch bezüglich Summennorm/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}M$ eine spaltenstochastische Matrix und

${}v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$

ein Vektor mit nichtnegativen Einträgen. Dann ist

${}{\begin{aligned}\Vert {Mv}\Vert _{\rm {sum}}&=\sum _{i=1}^{n}(Mv)_{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}v_{j}\\&=\Vert {v}\Vert _{\rm {sum}}.\end{aligned}}$

Wenn umgekehrt die angegebene isometrische Eigenschaft gilt, so gilt insbesondere für die Bilder der Standardvektoren, dass ihre Summennorm gleich ${}1$ sein muss. Diese Bilder stehen in der entsprechenden Spalte der Matrix, alle Spaltensummen haben also den Wert ${}1$.

Zur bewiesenen Aussage