Spaltenstochastisch/Isometrisch bezüglich Summennorm/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei eine spaltenstochastische Matrix und

ein Vektor mit nichtnegativen Einträgen. Dann ist

Wenn umgekehrt die angegebene isometrische Eigenschaft gilt, so gilt insbesondere für die Bilder der Standardvektoren, dass ihre Summennorm gleich sein muss. Diese Bilder stehen in der entsprechenden Spalte der Matrix, alle Spaltensummen haben also den Wert .

Zur bewiesenen Aussage