Spaltenstochastische Matrix/Konvergenzeigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Für einen beliebigen Vektor $v \in V$ ist

\begin{matrix} ∣ ∣ M v ∣ ∣_{sum} & = \sum_{i = 1}^{n} | (M v)_{i} | \\ = \sum_{i = 1}^{n} | \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} v_{j} | \\ \leq \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} | v_{j} |) \\ = \sum_{j = 1}^{n} | v_{j} | (\sum_{i = 1}^{n} a_{i j}) \\ = \sum_{j = 1}^{n} | v_{j} | \\ = ∣ ∣ v ∣ ∣_{sum} . \end{matrix}

Iterative Anwendung dieser Beobachtung zeigt, dass Fakt (2) erfüllt ist.