Spektrum/Prägarbe/Beispiel

Es sei  ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$  das [[Kommutativer Ring/Spektrum/Definition|]] eines [[Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition|]] ${}R$. Darauf definiert man eine [[Prägarbe/Definition|]] von kommutativen Ringen, indem man zu einer offenen Menge  ${}U\subseteq X$  die Festlegung

${}{\mathcal {P}}{\left(U\right)}=\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,R_{f}\,$

macht, mit den natürlichen Ringhomomorphismen ${}R_{f}\rightarrow R_{g}$ zu  ${}U\subseteq D(g)\subseteq D(f)$.  Dies ist mit den natürlichen Ringhomomorphismen eine Prägarbe. Dabei ist  ${}{\mathcal {P}}{\left(D(f)\right)}=R_{f}$  und insbesondere  ${}{\mathcal {P}}{\left(X\right)}=R$,  da das gerichtete System das finale Objekt ${}D(f)$ enthält. Der [[Prägarbe/Punkt/Halm/Definition|]] dieser Prägarbe in einem Punkt  ${}{\mathfrak {p}}\in X$  ist

${}\operatorname {colim} _{{\mathfrak {p}}\in U}\,{\mathcal {P}}{\left(U\right)}=\operatorname {colim} _{{\mathfrak {p}}\in D(f)}\,{\mathcal {P}}{\left(D(f)\right)}=\operatorname {colim} _{f\notin {\mathfrak {p}}}\,R_{f}=R_{\mathfrak {p}}\,.$