Stammbrüche/Summe n+1 bis 2n/ln 2/Tipp/Aufgabe/Lösung

Die Stammfunktion von ${}f(x)={\frac {1}{x}}$ ist ${}\ln x$. Daher ist ${}\int _{1}^{2}{\frac {1}{x}}dx=\ln 2-\ln 1=\ln 2$. Die äquidistante Unterteilung von ${}[1,2]$ in ${}n$ Teilintervalle führt zu den ${}n+1$ Teilungspunkten

$1+{\frac {i}{n}},i=0,\ldots ,n.$

Da ${}{\frac {1}{x}}$ streng fallend ist, ist die Treppenfunktion, die auf dem Intervall ${}]1+{\frac {i-1}{n}},1+{\frac {i}{n}}[$ den Wert

${}f{\left(1+{\frac {i}{n}}\right)}={\frac {1}{1+{\frac {i}{n}}}}={\frac {n}{n+i}}\,$

annimmt, eine untere Treppenfunktion zu ${}f$. Das Treppenintegral zu dieser Treppenfunktion ist

${}{\frac {1}{n}}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {n}{n+i}}\right)}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n+i}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}\,,$

und dies ist maximal gleich dem bestimmten Integral.

Zur gelösten Aufgabe