Stammbruchquadrat/Summe/Bernoulli-Polynome/Fakt/Beweis

Beweis

Fakt für ${}k=1$ besagt

${}B_{2}(t)=t^{2}-t+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{\pi ^{2}}}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{2}}}\,,$

wobei Konvergenz im Sinne der ${}L^{2}$-Norm vorliegt. Wegen

${}B_{2}(0)=B_{2}(1)\,$

kann man Fakt anwenden, die Konvergenz liegt also auch punktweise vor. Für ${}t=0$ ergibt dies

${}{\frac {1}{6}}={\frac {1}{\pi ^{2}}}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\,,$

also

${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,.$

Zur bewiesenen Aussage