Stammbruchraum/Stetige Funktionen/Gleichgradig stetig/Aufgabe

Es sei

${}M={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}\subseteq \mathbb {R} \,$

und es sei

${}T:={\left\{f:M\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig und }}f(0)=0\right\}}\subseteq C^{0}(M,\mathbb {R} )\,,$

versehen mit der Maximumsnorm.

1. Ist ${}T$ abgeschlossen in ${}C^{0}(M,\mathbb {R} )$?
2. Ist ${}T$ gleichgradig stetig?
3. Für welche Punkte ${}x\in M$ ist das Auswertungsbild zu

   $T\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto f(x),$

   beschränkt?

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