Topologischer Raum/Metrischer Raum/Abbildungsmenge/Gleichgradig stetig/Definition

Gleichgradig stetig

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, ${}Z$ ein metrischer Raum und sei ${}T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,Z\right)}$ eine Menge von Abbildungen von ${}X$ nach ${}Z$. Man nennt ${}T$ gleichgradig stetig in einem Punkt ${}x\in X$, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine offene Umgebung ${}x\in U\subseteq X$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in U$ und alle ${}f\in T$ gilt

${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon \,.$

Man nennt ${}T$ gleichgradig stetig, wenn ${}T$ gleichgradig stetig in jedem Punkt ${}x\in X$ ist.