Topologischer Raum/Metrischer Raum/Abbildungsmenge/Gleichgradig stetig/Definition

Gleichgradig stetig

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, ${}Z$ ein metrischer Raum und sei  ${}T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,Z\right)}$  eine Menge von Abbildungen von ${}X$ nach ${}Z$. Man nennt ${}T$ gleichgradig stetig in einem Punkt  ${}x\in X$,  wenn es zu jedem  ${}\epsilon >0$  eine offene Umgebung  ${}x\in U\subseteq X$  derart gibt, dass für alle  ${}x'\in U$  und alle  ${}f\in T$  gilt

${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon \,.$

Man nennt ${}T$ gleichgradig stetig, wenn ${}T$ gleichgradig stetig in jedem Punkt  ${}x\in X$  ist.