Stammfunktion/Negative Potenzen von quadratischen Polynomen/Rekursionsformel/Fakt

Es sei ${}x^{2}+bx+c$ (mit ${}b,c\in \mathbb {R}$) ein quadratisches Polynom ohne reelle Nullstelle (d.h., dass ${}\triangle :={\frac {b^{2}-4c}{4}}<0$ ist).

Dann ist

${\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}\arctan {\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}{\left(x+{\frac {b}{2}}\right)}$

eine Stammfunktion von

${\frac {1}{x^{2}+bx+c}}$

und für ${}n\geq 1$ gilt die Rekursionsformel

$\int _{r}^{s}{\frac {1}{{\left(x^{2}+bx+c\right)}^{n+1}}}dx={\frac {1}{n{\left(4c-b^{2}\right)}}}{\left({\frac {2z+b}{{\left(z^{2}+bz+c\right)}^{n}}}{|}_{r}^{s}+(4n-2)\int _{r}^{s}{\frac {1}{{\left(x^{2}+bx+c\right)}^{n}}}dx\right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen