Stammfunktion/Rationale Funktion/Linear durch Potenz von quadratischem Polynom/Bemerkung

Mit Fakt kann man auch rationale Funktionen der Form

${\frac {rx+s}{(x^{2}+bx+c)^{n}}}$

(mit ${}r,s\in \mathbb {R} ,\,r\neq 0$,) integrieren, wo also das Zählerpolynom linear und das Nennerpolynom eine Potenz eines quadratischen Polynoms ist. Bei ${}n=1$ ist

${\left({\frac {r}{2}}\ln \left(x^{2}+bx+c\right)\right)}'={\frac {r}{2}}\cdot {\frac {2x+b}{x^{2}+bx+c}}={\frac {rx+{\frac {rb}{2}}}{x^{2}+bx+c}}\,.$

D.h., dass die Differenz zwischen dieser Ableitung und der zu integrierenden Funktion vom Typ

${\frac {u}{x^{2}+bx+c}}$

ist, was wir aufgrund von Fakt integrieren können. Bei ${}n\geq 2$ ist

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {-r}{2(n-1)}}\cdot {\frac {1}{{\left(x^{2}+bx+c\right)}^{n-1}}}\right)}'&={\frac {-r}{2(n-1)}}\cdot (-n+1)\cdot (2x+b)\cdot {\frac {1}{{\left(x^{2}+bx+c\right)}^{n}}}\\&={\frac {rx+{\frac {rb}{2}}}{{\left(x^{2}+bx+c\right)}^{n}}}\,\end{aligned}}$

und wieder ist das Integral auf eine schon behandelte Situation zurückgeführt.