a) Wir betrachten die Substitution 
bzw. ![{\displaystyle {}u={\sqrt[{k}]{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c639f95ea68025b9b0745026af60ce3d229cc5a8)
. Damit ist
-
![{\displaystyle {}\int _{}^{}f(x)\,dx=\int _{}^{}R(x,{\sqrt[{k}]{x}})\,dx=\int _{}^{}R(u^{k},u)\cdot ku^{k-1}\,du\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450137d49607e9de6669be56a36615ce12959738)
Dabei ist jetzt 
eine rationale Funktion in 
, und bei der Multiplikation mit 
bleibt dies eine rationale Funktion.
b) Mit der Substitution 
bzw. ![{\displaystyle {}u={\sqrt[{3}]{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092cbba76891d43e04de8fc8847b2650e20710e9)
ist
-
![{\displaystyle {}\int _{}^{}{\frac {{\sqrt[{3}]{x}}+x}{({\sqrt[{3}]{x}})^{2}-{\sqrt[{3}]{x}}}}\,dx=\int _{}^{}{\frac {u+u^{3}}{u^{2}-u}}\cdot 3u^{2}\,du=\int _{}^{}{\frac {3u^{2}+3u^{4}}{u-1}}\,du\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6878af4503e5ab45b92864fb677856816a83c4e4)
Polynomdivision ergibt
-
und daher ist dieses Integral gleich
-
Eine Stammfunktion ist daher
-
Somit ist
-
![{\displaystyle {\frac {3}{4}}x{\sqrt[{3}]{x}}+x+3({\sqrt[{3}]{x}})^{2}+6{\sqrt[{3}]{x}}+6\cdot \ln({\sqrt[{3}]{x}}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b94223919cc239321b6015508bc3d039ec44a9)
eine Stammfunktion von
![{\displaystyle {}{\frac {{\sqrt[{3}]{x}}+x}{({\sqrt[{3}]{x}})^{2}-{\sqrt[{3}]{x}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d666c32ca0f204a33b3df3d8d34eada45afa4cee)
.
