Stammfunktion/Rationale Funktion in x und quadratischem Polynom/Reduktion/Fakt/Beweis

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Beweis

Durch eine Substitution der Form bzw. vereinfacht sich die Quadratwurzel zu bzw. zu . Quadratisches Ergänzen führt zu bzw. . Durch eine weitere Substitution der Form erhält man oder oder aber . Dies sind alles affin-lineare Substitutionen. Die Ergebnisse unter der Gesamtsubstitution sind von der angegebenen Art.
Wenn es sich um ein Integral zu einer rationalen Funktion der Form

handelt, so führt zu

und zu

so dass sich eine rationale Funktion in den trigonometrischen Funktionen und ergibt.
Bei einem Integral zu einer rationalen Funktion der Form

führt (unter Verwendung von , siehe Aufgabe) zu

und zu

so dass sich eine rationale Funktion in den Hyperbelfunktionen und ergibt.

Bei einem Integral zu einer rationalen Funktion der Form

führt zu

und zu

so dass sich wieder eine rationale Funktion in den Hyperbelfunktionen und ergibt.

Zur bewiesenen Aussage