Stammfunktion/Rationale Funktion in x und quadratischem Polynom/Reduktion/Fakt/Beweis

Beweis

Durch eine Substitution der Form ${}u={\sqrt {a}}x$ bzw. ${}u={\sqrt {-a}}x$ vereinfacht sich die Quadratwurzel zu ${}{\sqrt {u^{2}+{\tilde {b}}u+{\tilde {c}}}}$ bzw. zu ${}{\sqrt {-u^{2}+{\tilde {b}}u+{\tilde {c}}}}$. Quadratisches Ergänzen führt zu ${}{\sqrt {v^{2}+{\tilde {e}}}}$ bzw. ${}{\sqrt {-v^{2}+{\tilde {e}}}}$. Durch eine weitere Substitution der Form ${}w={\frac {v}{\sqrt {\vert {\tilde {e}}\vert }}}$ erhält man ${}{\sqrt {\tilde {e}}}{\sqrt {w^{2}+1}}$ oder ${}{\sqrt {-{\tilde {e}}}}{\sqrt {w^{2}-1}}$ oder aber ${}{\sqrt {\tilde {e}}}{\sqrt {-w^{2}+1}}$. Dies sind alles affin-lineare Substitutionen. Die Ergebnisse unter der Gesamtsubstitution sind von der angegebenen Art.
Wenn es sich um ein Integral zu einer rationalen Funktion der Form

$R{\left(t,{\sqrt {1-t^{2}}}\right)}$

handelt, so führt ${}t=\sin s$ zu

${}{\sqrt {1-t^{2}}}={\sqrt {1-\sin ^{2}s}}={\sqrt {\cos ^{2}s}}=\cos s\,$

und zu

${}dt={\left(\sin s\right)}'ds=\cos sds\,,$

sodass sich eine rationale Funktion in den trigonometrischen Funktionen ${}\sin s$ und ${}\cos s$ ergibt.
Bei einem Integral zu einer rationalen Funktion der Form

$R{\left(t,{\sqrt {t^{2}-1}}\right)}$

führt ${}t=\cosh s$ (unter Verwendung von ${}\cosh ^{2}s-\sinh ^{2}s=1$, siehe Aufgabe) zu

${}{\sqrt {t^{2}-1}}=\sinh s\,$

und zu

${}dt=(\cosh s)'ds=\sinh sds\,,$

sodass sich eine rationale Funktion in den Hyperbelfunktionen ${}\sinh s$ und ${}\cosh s$ ergibt.

Bei einem Integral zu einer rationalen Funktion der Form

$R{\left(t,{\sqrt {t^{2}+1}}\right)}$

führt ${}t=\sinh s$ zu

${}{\sqrt {t^{2}+1}}=\cosh s\,$

und zu

${}dt=(\sinh s)'ds=\cosh sds\,,$

sodass sich wieder eine rationale Funktion in den Hyperbelfunktionen ${}\sinh s$ und ${}\cosh s$ ergibt.

Zur bewiesenen Aussage