Stammfunktion/Sinus hyperbolicus/Beispiel

Wir berechnen eine Stammfunktion zum Sinus hyperbolicus mit der Methode aus Fakt, was in diesem Fall nicht der beste Ansatz ist. Es ist

${}\sinh t={\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}={\frac {{\left(e^{t}\right)}^{2}-1}{2e^{t}}}\,.$

Mit ${}s=e^{t}$ müssen wir

${}{\frac {s^{2}-1}{2s}}\cdot {\frac {1}{s}}={\frac {s^{2}-1}{2s^{2}}}={\frac {1}{2}}{\left(1-{\frac {1}{s^{2}}}\right)}\,$

integrieren. Eine Stammfunktion davon ist

${\frac {1}{2}}{\left(s+{\frac {1}{s}}\right)}.$

Rücksubstitution liefert schließlich die Stammfunktion

${}{\frac {1}{2}}{\left(e^{t}+{\frac {1}{e^{t}}}\right)}={\frac {1}{2}}{\left(e^{t}+e^{-t}\right)}=\cosh t\,.$