Stammfunktion/cos x durch cos x + a/Aufgabe/Lösung

Wir machen gemäß Fakt den Ansatz

${}t=2\arctan s\,$

und erhalten den substituierten Integranden

${}{\begin{aligned}{\frac {\cos t}{a+\cos t}}dt&={\frac {\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}{a+{\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}}}\cdot {\frac {2}{1+s^{2}}}ds\\&={\frac {1-s^{2}}{a(1+s^{2})+1-s^{2}}}\cdot {\frac {2}{1+s^{2}}}ds\\&={\frac {1-s^{2}}{s^{2}(a-1)+(a+1)}}\cdot {\frac {2}{1+s^{2}}}ds.\end{aligned}}$

Ein Partialbruchansatz liefert

${}{\frac {1-s^{2}}{s^{2}(a-1)+(a+1)}}\cdot {\frac {2}{1+s^{2}}}={\frac {-2a}{s^{2}(a-1)+(a+1)}}+{\frac {2}{1+s^{2}}}\,.$

Eine Stammfunktion davon ist

$-{\frac {2a}{\sqrt {a^{2}-1}}}\arctan {\left({\frac {\sqrt {a-1}}{\sqrt {a+1}}}s\right)}+2\arctan s.$

Mit der Rücksubstitution

${}s=\tan {\left({\frac {t}{2}}\right)}\,$

erhält man als Stammfunktion der ursprünglichen Funktion ${}\cos t$ die Funktion

$-{\frac {2a}{\sqrt {a^{2}-1}}}\arctan {\left({\frac {\sqrt {a-1}}{\sqrt {a+1}}}\tan {\left({\frac {t}{2}}\right)}\right)}+t.$

Zur gelösten Aufgabe