Standard-graduierter Ring/Projektives Spektrum/Projektives Schema/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

${}A=A_{0}[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,$

mit einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq A_{0}[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Zur Restklassenabbildung

$\theta \colon A_{0}[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow A$

gehört nach Fakt der Schemamorphismus

$i\colon \operatorname {Proj} {\left(A\right)}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{A_{0}}^{n}.$

So wie die Spektrumsabbildung

$\operatorname {Spek} {\left(A\right)}\longrightarrow V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{A_{0}}^{n+1}},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto \theta ^{-1}({\mathfrak {p}}),$

eine Homöomorphie ist, ist auch die vorliegende projektive Variante eine Homöomorphie auf ${}V_{+}({\mathfrak {a}})$. D.h. insbesondere, dass ${}\operatorname {Proj} {\left(A\right)}$ in natürlicher Weise einer abgeschlossenen Teilmenge des projektiven Raumes über ${}A_{0}$ entspricht. Wir müssen noch zeigen, dass der Garbenhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{A_{0}}^{n}}\longrightarrow i_{*}{\mathcal {O}}_{\operatorname {Proj} {\left(A\right)}}$

surjektiv ist. Auf ${}D_{+}(f)$ zu einem homogenen Element ${}f\in A_{0}[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{+}$ ist dies aber die Abbildung

${\left(A_{0}[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{f}\right)}_{0}\longrightarrow {\left(A_{f}\right)}_{0},$

und diese ist surjektiv.

Zur bewiesenen Aussage