Standardkreis/Richtung/Krümmung/Beispiel

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}.$

Es ist

${}\gamma '(t)={\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\,$

und

${}\gamma ^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}-\cos t\\-\sin t\end{pmatrix}}\,.$

Die Krümmung zu jedem Zeitpunkt ${}t$ ist

${}\gamma _{1}'(t)\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)-\gamma _{2}'(t)\gamma _{1}^{\prime \prime }(t)={\left(-\sin t\right)}{\left(-\sin t\right)}-\cos t{\left(-\cos t\right)}=1\,,$

der Krümmungsradius ist ${}1$ und der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist

${}{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-\cos t\\-\sin t\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\,,$

der Krümmungskreis ist also stets der Einheitskreis.

Wenn man den Kreis mit dem Uhrzeigersinn durchläuft, also die Kurve

$\delta \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,s\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos \left(-s\right)\\\sin \left(-s\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos s\\-\sin s\end{pmatrix}},$

betrachtet, so ist die Krümmung gleich ${}-1$, Krümmungsradius und Krümmungskreis sind wie zuvor.