Standardparabel/Anschmiegender Kreis/Vergleich/Aufgabe/Lösung

Es ist
$\begin{matrix} K & = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ (y - 1)^{2} + x^{2} = 1} \\ = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ y^{2} - 2 y + 1 + x^{2} = 1} \\ = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ y^{2} - 2 y + x^{2} = 0} . \end{matrix}$
Es geht um die gemeinsame Lösungsmenge der beiden Gleichungen
$y = x^{2}$

und

$y^{2} - 2 y + x^{2} = 0 .$

Wir ersetzen in der zweiten Gleichung $x^{2}$ durch $y$ und erhalten die Bedingung

$0 = y^{2} - 2 y + y = y^{2} - y = y (y - 1) .$

Also ist $y = 0$ oder $y = 1$ . Dies führt zu den drei Schnittpunkten $(0, 0), (1, 1), (- 1, 1)$ .
Die Kreisgleichung
$y^{2} - 2 y + x^{2} = 0$

ist äquivalent zu

$y^{2} - 2 y = - x^{2}$

bzw. zu

$(y - 1)^{2} = 1 - x^{2} .$

Somit ist

$y = 1 \pm \sqrt{1 - x^{2}} .$

Der untere Kreisbogen ist somit der Graph der Funktion

$[- 1, 1] ⟶ ℝ, x ⟼ 1 - \sqrt{1 - x^{2}} .$
Wir behaupten, dass die Parabel auf $[- 1, 1]$ oberhalb des unteren Kreisbogens verläuft. Es ist also
$x^{2} \geq 1 - \sqrt{1 - x^{2}}$

zu zeigen. Dies ist äquivalent zu

$\sqrt{1 - x^{2}} \geq 1 - x^{2} .$

Da beide Terme im angegebenen Intervall positiv sind, ist dies äquivalent zu

$1 - x^{2} \geq {(1 - x^{2})}^{2} = 1 + x^{4} - 2 x^{2} .$

Dies ist äquivalent zu

$x^{4} - x^{2} \leq 0$

bzw. zu

$x^{2} - 1 \leq 0,$

was wegen $x \in [- 1, 1]$ erfüllt ist.