Standardparabel/Anschmiegender Kreis/Vergleich/Aufgabe/Lösung

1. ${}\,$
2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}K&={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid (y-1)^{2}+x^{2}=1\right\}}\\&={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y^{2}-2y+1+x^{2}=1\right\}}\\&={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y^{2}-2y+x^{2}=0\right\}}.\end{aligned}}$

3. Es geht um die gemeinsame Lösungsmenge der beiden Gleichungen

   ${}y=x^{2}\,$

   und

   ${}y^{2}-2y+x^{2}=0\,.$

   Wir ersetzen in der zweiten Gleichung ${}x^{2}$ durch ${}y$ und erhalten die Bedingung

   ${}0=y^{2}-2y+y=y^{2}-y=y(y-1)\,.$

   Also ist ${}y=0$ oder ${}y=1$. Dies führt zu den drei Schnittpunkten ${}(0,0),(1,1),(-1,1)$.

4. Die Kreisgleichung

   ${}y^{2}-2y+x^{2}=0\,$

   ist äquivalent zu

   ${}y^{2}-2y=-x^{2}\,$

   bzw. zu

   ${}(y-1)^{2}=1-x^{2}\,.$

   Somit ist

   ${}y=1\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,.$

   Der untere Kreisbogen ist somit der Graph der Funktion

   $[-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto 1-{\sqrt {1-x^{2}}}.$

5. Wir behaupten, dass die Parabel auf ${}[-1,1]$ oberhalb des unteren Kreisbogens verläuft. Es ist also

   ${}x^{2}\geq 1-{\sqrt {1-x^{2}}}\,$

   zu zeigen. Dies ist äquivalent zu

   ${}{\sqrt {1-x^{2}}}\geq 1-x^{2}\,.$

   Da beide Terme im angegebenen Intervall positiv sind, ist dies äquivalent zu

   ${}1-x^{2}\geq {\left(1-x^{2}\right)}^{2}=1+x^{4}-2x^{2}\,.$

   Dies ist äquivalent zu

   ${}x^{4}-x^{2}\leq 0\,$

   bzw. zu

   ${}x^{2}-1\leq 0\,,$

   was wegen ${}x\in [-1,1]$ erfüllt ist.

Zur gelösten Aufgabe