Standardparabel/Krümmungskreis/Beispiel

Wir betrachten die Standardparabel als Kurve

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}t\\t^{2}\end{pmatrix}}$

im Nullpunkt ${}t_{0}=0$. Es ist

${}\gamma '(t)={\begin{pmatrix}1\\2t\end{pmatrix}}\,.$

Dies ist im Allgemeinen nicht bogenparametrisiert, im Nullpunkt aber schon. Die zweite Ableitung ist

${}\gamma ^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}\,$

unabhängig vom Zeitpunkt. Daher ist der Krümmungsradius gleich

${}r={\frac {1}{\vert {\gamma _{1}'(0)\gamma _{2}^{\prime \prime }(0)-\gamma _{2}'(0)\gamma _{1}^{\prime \prime }(0)}\vert }}={\frac {1}{2}}\,$

und der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist ${}{\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$.